Vectores escalares

Un escalar es una cantidad que solo tiene una magnitud. 

Un vector es una cantidad que tiene dos características: magnitud y dirección.




Escalares: masa, temperatura, área, longitud, dinero. 
Vectores: fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración, campo eléctrico. 

Para representar un vector, es costumbre utilizar una flecha. 

La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector y la orientación de la flecha indica la dirección del vector. 

Producto Punto y Producto Cruz

Existen dos maneras de multiplicar los vectores, llamadas Producto Punto y Producto Cruz.

Producto Punto: El Producto punto de dos vectores será un numero escalar y se hará de la siguiente manera:

Teniendo los vectores U = (X1,Y1,Z1) y V = (X2,Y2,Z2)

El producto punto es U.V y sería igual a = X1.X2 + Y1.Y2 + Z1.Z2 = K

K es el escalar resultante a la multiplicación de los vectores.

Es decir el producto punto es la suma de las mediciones multiplicadas por sus respectivas de los vectores.

Para sacar la magnitud del producto punto de los vectores es elevar el resultado al cuadrado y sacar su raíz, prácticamente igual que como lo hacíamos solo que aquí sera nada mas del escalar. Si se pide la magnitud de los vectores dados es igual que como lo veníamos haciendo.

Pero para la dirección si cambia un poco, existen dos maneras de sacar la dirección de un producto punto:

1) La primera es  Θ = Cos^-1 [U.V(Producto Punto) / |U||V|

Es decir, para sacar la dirección es el coseno a la menos 1 de la division del producto punto entre la multiplicación de las magnitudes de los dos vectores.

2) Y la segunda da el mismo resultado pero es primero sacar Beta y después alfa y restar ambas. En formulas sería:

β = Tan^-1 Y1/X1

∝ = Tan ^-1 Y2/X2

Θ = β – ∝

Ambas maneras de sacar la dirección deben de llegar al mismo resultado.

A continuación un ejemplo para dejar en claro como hacer el producto punto, sacar su magnitud y dirección.

1. Calcular el producto punto de los siguientes vectores, así como su magnitud y dirección.

U = (3,7)

V = (6,3)

U.V = 3.6 + 7.3 = 18 + 21 = 39

|U.V| = √39^2=39

Para la dirección usaremos ambas maneras para que vean que con las dos se puede llegar al mismo resultado

1) Hay que primero calcular las magnitudes de U y V que son:

|U| = √3^2 + 7^2 = √58

|V| = √6^2 + 3^2 = √45

Θ = Cos^-1 [39/ √58 .√45 = 40.23

2) Para la segunda manera hay que sacar alfa y beta y restarle a beta alfa. Tenemos:

β = Tan^-1 (7/3) = 66.8

∝ = Tan ^-1 (3/6) = 26.56

Θ = 66.8 – 26.56 = 40.23

Y como se aprecia ambos resultados son iguales.

Producto Cruz: 

El producto cruz no se puede para todo, para que se pueda sacar el producto cruz a los vectores debe de ser para aquellos vectores en tercera dimensión (3D).

El Producto cruz es el determinante de la matriz que se genera por los dos vectores con la primer linea de i, j y k. Es decir como resultado tendremos un vector  y para poder calcularlo hay que hacer el uso de determinantes.

La manera es la siguiente:

Teniendo

U = ai + bj + ck

V = di + ej + fk

[i j k]

UxV = Det  [a b c]

[d e f]

[i j k]

VxU = Det  [d e f]

[a b c]

Lo que nos lleva a que UxV = VxU entonces no importa de que manera efectuemos para sacar nuestro producto cruz es igual.

Para el Producto cruz sacar su magnitud es igual la suma de los cuadrados de sus constantes del vector y su area es de un modo distinto porque se produce un paralelogramo.

Para este paralelogramo primero se saca su area, pero lo curioso es que su area es igual que la magnitud solo que añadiendo unidades cuadradas.

Y para la dirección se hace de la siguiente manera Θ = Sen ^-1 [|UxV| / |U||V|].

Es decir, el seno a la menos 1 de la division de la magnitud del producto cruz sobre la multiplicación de las magnitudes de los vectores.

A continuación un ejemplo para que sea mas gráfica la apreciación de como obtener el producto cruz de dos vectores.

1. Calcular el producto cruz de los siguientes vectores:

U = 2i +3j + k

V = i + j + 2k

UxV = Det [i j k]   i j

[2 3 1] 2 3

[1 1 2] 1 1

Multiplicando y sumando las diagonales principales y restando le la multiplicación y suma de las otras diagonales Tenemos:  6i + j + 2k – (3k + i + 4j) = 5i – 3j – k

El producto cruz es 5i – 3j – k

Su magnitud sería: |UXV|=√(5^2 + -3^2 + -1^2)=√35

Su area: √35 u^2

Su dirección: Para esta primero hay que sacar las magnitudes de los vectores

|U| = √6

|V| = √14

Θ = Sen ^-1 [√35 / √6.√14] = 40.20

Simple y sencillo todo el método.

Ejercicios de Producto Punto y Producto Cruz:

1. Calcular el producto punto de los siguientes vectores así como su magnitud y dirección:

a) U = (5,4) V = (2,1)

b) U = (4,7) V = (1,8)

2. Calcular el producto cruz de los siguientes vectores:

a) U = 3i +4j + 6k  y V = 3i + 5j + 2k

b) U = i +5j + 2k  y V = 4i + 3j + 4k

Elasticidad

Es la propiedad que tienen los objetos para cambiar de forma.  El estiramiento es directamente proporcional a la fuerza aplicada.  Esta relación fue considerada por Robert Hooke.  Si se estira o se comprime demasiado un material elástico, más allá de cierta cantidad entonces el objeto no regresará a su estado normal.  Cuando hay una distorsión permanente, se llama límite elástico.  La Ley de Hooke solamente aplica a casos donde la fuerza aplicada no estire o comprima el material más allá de su límite elástico.

Cuando se estira o tira de algo se dice que el objeto está en tensión.  Cuando se aprieta se dice que se comprime o está bajo compresión.

Inercia

La ley de la inercia corresponde a la primer ley de Newton, y afirma que: "Todo cuerpo continúa en su estado de reposo (es decir, velocidad nula) o de movimiento uniforme en línea recta a menos que sea forzado a cambiar su estado por fuerzas externas."

Es decir, que a no ser que la partícula expiremente un cambio debido a una fuerza externa (véase rozamiento, fricción, impulso, tirón…) ésta seguirá con la velocidad que llevara de forma constante. De esta forma podemos distinguir varios casos:













1.  Si disponemos de una partícula parada al inicio, a no ser que se le empuje (por ejemplo), ésta no se moverá nunca.
2.  Si a un partícula (por ejemplo un patinador sobre el hielo -modelo de un sistema sin rozamiento-) con velocidad incial disinta de cero, no se le obliga a frenar con fuerzas de fricción o con un tope, ésta conservará la velocidad que llevaba de forma constante por tiempo infinito.
3.  Por úlimo contemplaremos el caso de una partícula (de nuevo podría ser el patinador) que se desplaza a velocidad constante. Ésta viajará siempre en línea recta a no ser que una fuerza externa (por ejemplo, un empujón) la obligue a girar y cambiar su ritmo.

Pero, como es obvio, en nuestra naturaleza el caso 2 es muy difícil de concebir, puesto que no disponemos de sistemas sin rozamiento. Para estudiar este fenómeno usamos modelos simulados sobre hielo, que resbalan minimizando el roce con la superficie; o elevaciones bien con aire a presión, bien con electromagnetismo, para eliminar la fricción. 

Movimiento

El movimiento es un cambio de la posición de un cuerpo a lo largo del tiempo respecto de un sistema de referencia.

El estudio del movimiento se puede realizar a través de la cinemática o a través de la dinámica. En función de la elección del sistema de referencia quedaran definidas las ecuaciones del movimiento, ecuaciones que determinarán la posición, la velocidad y la aceleración del cuerpo en cada instante de tiempo. Todo movimiento puede representarse y estudiarse mediante gráficas. Las más habituales son las que representan el espacio, la velocidad o la aceleración en función del tiempo.

Cuales son los elementos del movimiento

La trayectoria. Es la línea que describe un cuerpo en movimiento. Atendiendo a su trayectoria los movimientos, puede ser:

• Rectilíneos: describen una línea recta.
• Curvilíneos: Circular: describe una circunferencia
• Elíptico: describe una elipse.
• Parabólico: describe una parábola.

La distancia. Es la longitud comprendida entre el origen del movimiento y la posición final.

Velocidad: Es la distancia recorrida en la unidad de tiempo.

Masa

Definición:

La masa es una medida de la cantidad de materia que posee un cuerpo. Es una propiedad extrínseca de los cuerpos que determina la medida de la masa inercial y de la masa gravitacional. La unidad utilizada para medir la masa en el Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo (kg). Es una magnitud escalar. No debe confundirse con el peso, que es una magnitud vectorial que representa una fuerza. 

Fórmulas para calcular la masa:

1. m= peso/gravedad
2. m=fuerza/aceleración
3. m=densidad*volumen

Estas fórmulas se deben aplicar basadas en los datos que nos dé el problema.

Diferencia entre masa y peso:

Energía

La Energía

Definición

El término energía tiene diversas acepciones y definiciones, relacionadas con la idea de una capacidad para obrar, transformar o poner en movimiento.

En física, energía se define como la capacidad para realizar un trabajo. Las unidades de la energía son los Joules, o Julios.

Tipos de Energía

Los principales tipos de energía son la energía cinética, la energía potencial y la energía total.

• Energía mecánica: es la producida por fuerzas de tipo mecánico, como la elasticidad, la gravitación, etc., y la poseen los cuerpos por el hecho de moverse o de encontrarse desplazados de su posición de equilibrio. Puede ser de dos tipos: Energía cinética y energía potencial (gravitatoria y elástica):
• Energía cinética: Energía que un objeto posee debido a su movimiento. La energía cinética depende de la masa y la velocidad del objeto según la ecuación Ec = 1/2mv², donde m es la masa del objeto y v² la velocidad del mismo elevada al cuadrado. La energía asociada a un objeto situado a determinada altura sobre una superficie se denomina energía potencial. Si se deja caer el objeto, la energía potencial se convierte en energía cinética.
• Energía potencial: La energía potencial es la capacidad que tienen los cuerpos para realizar un trabajo, dependiendo de la configuración que tengan en un sistema de cuerpos que ejercen fuerzas entre sí. La energía potencial es una magnitud escalar asociada a un campo de fuerzas. Cuando la energía potencial está asociada a un campo de fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dos puntos A y B es igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido entre B y A. Su fórmula es 

Ep=1/2Kx² 

• Trabajo: Como idea general, hablamos de trabajo cuando una fuerza (expresada en newton) mueve un cuerpo y libera la energía potencial de este; es decir, un hombre o una maquina realiza un trabajo cuando vence una resistencia a lo largo de un camino. Por ejemplo, para levantar una caja hay que vencer una resistencia, el peso P del objeto, a lo largo de un camino, la altura d a la que se levanta la caja. El trabajo T realizado es el producto de la fuerza P por la distancia recorrida d.

• Energía total: Se puede hallar aplicando las expresiones de la energía cinética o de la potencial. También se pueden sumar ambas energías. Et= Ec + Ep 

T = F · d                          Trabajo = Fuerza • Distancia

Video explicativo:

Ejercicio de práctica:

1-Un macetero de 0,5 Kg de masa cae desde una  ventana (donde estaba en reposo) que se encuentra a una altura de 4 metros sobre el suelo. Determine con qué  velocidad choca en el suelo si cae.

Para resolver este problema veamos los datos de que disponemos:

Tenemos (m) la masa = 0,5 Kg

Tenemos (h) la altura desde la cual cae = 4 metros

Y conocemos la constante de gravedad (g) = 10 m/s2

Con estos datos podemos calcular de inmediato la energía potencial que posee  el macetero antes de caer y llegar hasta el suelo, pues la fórmula es:

Reemplazamos lo valores en la fórmula y tenemos:

Ahora bien, esta Energía potencial (20 Joules) se ha transformado en Energía cinética desde el momento en que el macetero empezó a caer (a moverse) hacia la tierra, donde choca luego de recorrer la distancia (altura) desde su posición inicial (la ventana).

Por lo tanto,  Energía potencial es igual a la Energía cinética, igual a 20 Joules

Ep = Ec = 20 J

Y como conocemos la fórmula para calcular la energía cinética

Reemplazamos y nos queda:

Con estos datos es claro que podremos despejar la ecuación para conocer la velocidad con la cual el macetero llega a la tierra (choca).

(Recordemos que ½ =  0,5)

Respuesta: El macetero cae a tierra (choca) con una velocidad de 8,9 m/s
2-Un rifle dispara una bala de 4,2 g con una rapidez de 965 m/s.

a) Encuentre la energía cinética de la bala.

b) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre la bala si parte del reposo?

c) Si el trabajo se realiza sobre una distancia de 0,75 m, ¿cuál es la fuerza media sobre la bala?

Desarrollo:

Recordemos que la unidad de medida de la energía es la misma del trabajo, el Joule.

Anotemos los datos que tenemos:

masa de la bala = 4,2 g = 0,0042 Kg

rapidez de la bala = 965 m/s

distancia = 0,75 m

Con esto nos damos cuenta de que teniendo una masa (un cuerpo) y conociendo su rapidez (velocidad) podemos calcular la Energía cinética usando al fórmula::

Respuesta a)

La energía cinética de la bala es 1.956 Joules

Calculemos b)

Nos piden calcular un trabajo pero no conocemos el valor de F (la fuerza) para aplicar la fórmula T = F • d , pero conocemos la Energía cinética final (1.956 J) y el enunciado del problema nos dijo que la Energía cinética inicial es cero (la bala parte del reposo).

Entonces aplicamos la fórmula

Respuesta b)

El trabajo realizado sobre la bala equivale a 1.956 Joules

Ahora calculamos c)

Como tenemos T y distancia (no hay ángulo) , para calcular la Fuerza (F) usamos la fórmula simple

T = F • d

Respuesta c)

La fuerza media sobre la bala a los 0,75 m es de 2.608 Newton (N)